エルミート演算子のいろいろ

量子力学でのエルミート演算子について

共役演算子

$$(\phi, X\psi)=(Y\phi, \psi)$$

を満たす演算子 $Y$ のことを，演算子 $X$ の共役演算子という．このとき，

$$Y=X^{\dagger}$$

と書く．

エルミート演算子

$$X^{\dagger}=X$$

つまり，

$$(\phi, X\psi)=(X\phi, \psi)$$

を満たす演算子 $X$ のことを，エルミート演算子という．

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して，その固有状態を $|a_i \rangle$ 、固有値を複素数 $a_i$ とする(添え字 $i$ は０を含む自然数)．すなわち $i$ 番目の固有値方程式は

$$\hat{A} |a_i \rangle = a_i |a_i \rangle \tag{1}$$

と表される．エルミート性より $\hat{A}^{\dagger} =\hat{A}$ なので，$j$ 番目の固有値方程式の両辺のエルミート共役をとると，

$$\langle a_j | \hat{A}=a_j^* \langle a_j| \tag{2}$$

となる．式(1)の両辺に左から $\langle a_j |$ をかけ，式(2)の両辺に右から $|a_i \rangle$ をかける．

$$\langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle = a_i \langle a_j |a_i \rangle \tag{3}$$ $$\langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle = a_j^* \langle a_j|a_i \rangle \tag{4}$$

ゆえに

$$(a_i -a_j^{*})\langle a_j |a_i \rangle =0 \tag{5}$$

となるから, $i=j$ のとき，$\langle a_i |a_i \rangle \neq 0$ なので $a_i=a_i^{*}$ である．複素共役が不変なので $a_i$ は実数である．つまり，エルミート演算子の固有値は実数であることが示される.

エルミート演算子の固有値と直交性

エルミート演算子の固有値が実数であるから, $a_j^{*}= a_j$ ．よって $i \neq j$ のとき，$a_i - a_j^{*} = a_i - a_j \neq 0$ なので，式(5)より

$$\langle a_j |a_i \rangle = 0$$

つまり，異なる固有値に対応する固有状態は直交する